Logique classique d'Aristote

La logique "classique" a été codifiée pour plus de deux millénaires par Aristote dans son ouvrage Oργανον. Par une analyse de la pratique des sciences mathématiques et de l’argumentation juridique, il met en évidence le caractère hypothétique des jugements, comportant nécessairement hypothèse et conclusion. Le rôle de la logique est d’étudier les règles de déduction par lesquelles , à partir de certains jugements vrais (ou acceptés comme tels par l’interlocuteur) , on peut en fabriquer de nouveaux.
Le modèle de ces règles resta longtemps le syllogisme, qui sous sa forme la plus simple ("barbara") se traduit ainsi :
Tout B est C
(or) Tout A est B
___________________
(donc) Tout A est C.

Une fois admis le principe du tiers-exclu ( "toute assertion est vraie ou fausse"), on est aussi conduit à cette extraordinaire création de l’esprit chicanier des Grecs : le raisonnement par l’absurde. L’analyse classique confond les relations des types "A appartient à B" et "A est contenu dans B". Les logiciens du 19e siècle découvrent progressivement que la logique aristotélicienne est une logique des classes, maniant les relations que nous notons A ⊂ B et A ∩ B = ∅ , ainsi que leurs négations. Peu à peu, on s’enhardit à traiter de relations plus complexes entre classes, et à créer un véritable calcul logique. Mais on rencontre ici une difficulté assez subtile : en effet, dans une assertion du type :
(A ⊂ B) ⇒ (A ⊂ C)
par exemple, on doit distinguer les notions voisines d’implication logique (⇒) et d'inclusion des classes (⊂).

Histoire des primitives des fonctions élémentaires en informatique par Bourbaki

Le calcul intégral se divise en deux parties complémentaires : le calcul des intégrales "définies" ou calcul des aires et celui des intégrales "indéfinies" ou calcul des primitives. Que le premier soit susceptible de traitement par ordinateur est maintenant une évidence ; c’est beaucoup moins connu pour le second bien que de très importants progrès dans la théorie du calcul des primitives ont eu lieu depuis 1969, en liaison très intime avec la programmation effective.
La dérivation est une opération très simple.
Les seuls problèmes, qui sortent du cadre de cet exposé, résident dans la représentation de f et la programmation des tests entre guillemets ainsi que dans la simplification du résultat.
Au contraire, l’opération inverse qu’est le calcul de la primitive pose de nombreux problèmes : s’il est vrai que toute fonction continue admet une primitive, cet ensemble non dénombrable de fonctions est trop grand pour que ses éléments puis- sent être représentés en machine.

Le problème de la mesure par Bourbaki.

Le but du présent travail est de faire le point, à la lumière des résultats récents, sur le problème de l’existence des sous-ensembles non mesurables de la droite réelle. Qu’un tel problème relève de la théorie des ensembles s’explique aisément : c’est la théorie de Cantor qui - par la considération de parties de R échappant à l’intuition habituelle - a permis le développement ultérieur de la théorie de la mesure. Il revenait à la théorie moderne des ensembles de déterminer avec précision quels axiomes suffisent à créer ces parties de R "pathologiques" que sont les ensembles non mesurables.
1 - Les ensembles pathologiques du début du XX siècle.
Il est bien connu que la théorie des ensembles avec axiome du choix (ZFC) permet de prouver l’existence d’ensembles non mesurables. Avant de donner diverses démonstration de ce fait, il n’est pas inutile de rappeler que la considération des ordinaux dénombrables permet - sans recours aucun à l’axiome du choix - d’exhiber des ensembles qui sont déjà relativement étranges : c’est ainsi qu’on peut construire une partition de la droite en N 1 ensembles non vides appelée décomposition de Lebesgue.

Caustique mystique.

Le chemin sur lequel je cours
Ne sera pas le même quand je ferai demi-tour
J’ai beau le suivre tout droit
Il me ramène à un autre endroit
Je tourne en rond mais le ciel change
Hier j’étais un enfant
Je suis un homme maintenant
Le monde est une drôle de chose
Et la rose parmi les roses
Ne ressemble pas à une autre rose.
Robert Desnos.

Cette mystique ne porte pas toute son attention sur des objets dévoilés au sein des possibles, elle s’attache de plus en plus à décrire les structures de l’indétermination induite par ses paramètres. En cela elle ressemble à une théorie de Galois. On peut dire que les succès géométriques des intégrales de Feynman sont dus à leur potentiel d’ambiguïté.”
Tout se passe comme si la théorie parlait la langue de la cosmologie alors que nous réclamons de la géométrie.
L'être de Duns Scot : “L'être se divise en être de raison et en être réel ; l’être de raison, qui est celui de l’être réel en tant qu’objet de connaissance, n’existe que dans l’intellect.”

La géométrie de la pensée mystique.

Théorie de la classification.


La théorie de la classification est essentiellement l’oeuvre d’un Saharon Shelah, qui y a travaillé pendant plus de quinze ans. Ses résultats sont résumés dans un livre de quelque 500 pages.


Les problèmes auxquels elle s’attaque sont en eux-mêmes assez originaux, et je vais devoir en parler avant d’expliquer de façon outrageusement simplifiée quelles en sont les solutions. Comment classerons-nous les religions ? Les trois philosophies qui ont proposé une explication normative, historique et relativement globale des relations internationales – le réalisme, le libéralisme et le marxisme. Par la suite, on examine deux théories normatives critiques des théories générales classiques et néo-classiques, qui sont inspirées du post-modernisme : le constructivisme et la perspective communautarienne.

Le grand théorème de Fermat, de l'objectivisme au subjectivisme.

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in quadratum potestatem in duas ejusdem nominis fas es dividere : cujus reo demonstrationem mirabilem sane deteri. Hanc marginis eriguitas non caperet.
Ce texte en latin, précédé de la mention : Observatio Domini Petri de Fermat, se trouve dans l’édition des oeuvres de Diophante que le fils de Fermat fait paraître en 1670, cinq ans après la mort de son père. Il reproduit selon toute vraisemblance une annotation portée par Fermat dans son propre exemplaire des oeuvres de Diophante (édition de Bachet), aujourd’hui perdu.
Fermat y affirme que pour n ≥ 3 l’équation
xn + yn = zn
n’a pas de solutions entières (avec xyz ≠ 0).
Les nouvelles approches du théorème de Fermat que nous allons décrire ont pour point de départ commun une remarque de Hellegouarch selon laquelle une conséquence est que la courbe jouit de propriétés qui semblent trop miraculeuses pour que l'ensemble des possibles puisse exister. Je vais m'approprier cette formulation pour contraindre les aberrations des raisonnement sectaires qui ne reposent que sur des intelligences devenues incapables de reconnaitre l'objectif propre de l'intelligence, ce qu'on appelle le subjectivisme ou maintenant l'idéalisme, le virtuel. Au lieu de rencontrer l'objet en toute objectivité, nous laissons notre imagination s'approprier de l'objet pour le présenter à notre intelligence, ce qui l'égare de l'objectivisme dont est initialement pourvu toute connaissance objective, dans le subjectivisme qui soumet la pensée à l'imaginaire, souvent affectif. On ne devient pas un esclave soumis et avisé sans tyrannie.

Premier du nombre ou nombre premier ?

On doit à Hardy, Littlewood et Ramanujan un outil puissant pour décrire le comportement des nombres premiers. Ces trois mathématiciens avaient du génie.


Deux autres mathématiciens, B. Green et T. Tao montrent le théorème suivant :
L’ensemble des nombres premiers contient des progressions
arithmétiques de toutes longueurs.



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La marche du cavalier au jeu d'échecs occidental.

La pièce nommée cavalier dans le jeu des échecs, se déplaçant, à chaque saut, de deux cases dans le sens d'un des côtés de l'échiquier et d'une case dans le sens de l'autre, on sait qu'on peut de plusieurs manières lui faire parcourir les 64 cases sans la faire passer deux fois par la même. La recherche du nombre de solutions que comporte ce problème paraît présenter d'assez grandes difficultés. Il n'en est rien.